Ejercicios crecimiento microbiano

Las bacterias crecen de manera exponencial, de una pasan a dos, de dos a cuatro, de cuatro a ocho y así sucesivamente.

Si una bacteria se divide 10 veces tendremos 2¹⁰ = 1024. Si nos dicen que tenemos 1024 bacterias y queremos saber cuantas veces se ha dividido a partir de una bacteria tendremos que utilizar el logaritmo en base 2:

Log ₂ (1024) = 10

 ¿Cómo cambiar la base del logaritmo en la calculadora?

En la calculadora científica existen dos teclas para resolver logaritmos:
La tecla «log» que sirve para resolver logaritmos de base 10
La tecla «ln» que sirve para calcular los logaritmos neperianos (en base e)
Es decir, directamente con la calculadora, sólo se pueden resolver logaritmos en base 10 o logaritmos neperianos. No podemos cambiar la base del logaritmo en la calculadora.
Por eso, si necesitamos resolver un logaritmo de cualquier otra base, necesitamos aplicar la fórmula del cambio de base.
¿Y qué es la fórmula del cambio de base?
La fórmula del cambio de base nos permite calcular logaritmos de cualquier base con la calculadora. Es la siguiente:

Lo que viene a decir esta fórmula es que si tenemos el logaritmo en base «a» de un número N, podemos elegir otra base «b», que puedes ser la que queramos y dividir el logaritmo en esa base «b» del número entre el logaritmo en esa base del número «a» («a» es la base del logaritmo original).

Fórmula del cambio de base con logaritmos en base 10

Como podemos elegir la base «b» que queramos, vamos a jugar con eso a nuestro favor y vamos a elegir una base que nos convenga, como es la base 10, que es la que tenemos en la tecla «log» de la calculadora para resolver logaritmos.

Eligiendo la base 10, la fórmula del cambio de base queda mucho más simplificada:

Ahora, el logaritmo en base «a» de un número N es igual al logaritmo de N entre el logaritmo de «a» (ambos en base 10. Al estar en base 10, ya podemos resolverlos con la calculadora y la fórmula se convierte en una simple división.

Vamos a verlo con un ejemplo: Resolver el siguiente logaritmo:

Tenemos que resolver el logaritmo en base 7 de 100.

Aplicamos la fórmula del cambio de base y nos queda que ese logaritmo, «log N» es el logaritmo de 100 y «log a» es el logaritmo de 7, que es la base del logaritmo original.

Hallamos el valor de cada uno con la calculadora y realizamos la división, obteniendo el valor del logaritmo original:

¡Funciona!

Tienes que sólo tienes que dividir el logaritmo del número entre el logaritmo de la base del logaritmo original.

Existe una alternativa y es descargar Photomath en tu celular. Se escanea la fórmula y ¡Ya!

 Fórmula del cambio de base con logaritmos neperianos

Como tenemos la tecla «ln», que también resuelve logaritmos, podemos utilizar la fórmula del cambio de base eligiendo la base e, es decir, los logaritmos neperianos, quedando de la siguiente forma:

El logaritmo en cualquier base de un número es el logaritmo neperiano del número entre el logaritmo neperiano de la base del logaritmo original.

Vamos a ver otro ejemplo resolviendo un logaritmo con la fórmula del cambio de base con logaritmos neperianos. Tenemos que resolver el logaritmo en base 5 de 123. El logaritmo en base 5 de 123 es igual al logaritmo neperiano de 123 entre el logaritmo neperiano de 5. Estos logaritmos neperianos ya los podemos resolver con la calculadora. Resultado 2.98.   

Ejercicios:

1. i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 10.000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 4 horas de crecimiento?

2. Clostridium difficile se divide cada 12 minutos. ¿Cuánto tiempo toma para que esta bacteria alcance 9,223372037×10¹⁸ descendientes?

3. En el problema del trigo y el ajedrez se muestra el poder de la progresión exponencial. Si nosotros incubamos una bacteria en presencia de antibiótico, como podemos ver abajo en el video, en la sección izquierda, la mayoría de las bacterias morirán en presencia de la penicilina. Si tenemos 9,223372037×10¹⁸ y se mueren el 99.99999% de las bacterias ¿Cuántas bacterias quedarían?

Las bacterias crecen en presencia de penicilina. Las de la izquierda son sensibles a la penicilina. Las bacterias de la derecha son resistentes al antibiótico

4. Comienzo un cultivo bacteriano a partir de 1 bacteria. Si se trata de Escherichia coli que se divide cada 20 minutos ¿Cuántas bacterias tendré a las 5 horas?

5. Si comienzo un cultivo 1 bacteria y al cabo de 6 horas tengo 16384 bacterias ¿Cuál será el tiempo medio de división de esta bacteria?

6. Después de un tratamiento antibiótico en el que han muerto el 99.99999% de las bacterias resulta que tengo 9,22x10¹¹ bacterias. ¿Cuántas bacterias tenía en la infección antes de comenzar el tratamiento antibiótico?

7. i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 15000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 5 horas de crecimiento?

8. i) Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 8000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes. ¿Cuánto tiempo tarda B en dividirse?. ii) ¿Cuántas bacterias dejará de descendencia la bacteria A y cuántas la bacteria B tras 3 horas de crecimiento?

9. Cuando no existían bacterias toda la vida sobre la Tierra era vírica. Eran protovirus de ARN que tenían ribosomas. Estos virus se replicaban en la sopa biológica (en Ecuador en el locro biológico). Cuando aparecieron las bacterias, éstas tenían una membrana que diferenciaba fuera de dentro. Las bacterias metieron dentro todo lo que les interesaba de la sopa biológica. Los protovirus al quedarse sin su alimento sufrieron una presión selectiva que favoreció a aquellos virus que sabían como penetrar en el interior de las bacterias y alimentarse de lo que antaño había sido suyo. Nacieron los virus como entidades parásitas de las células. Muchos biólogos siguen diciendo, de forma equivocada, que los virus no son entidades vivas porque se tienen que alimentar de una célula metabólicamente activa. Si es por eso, podríamos incluir en la categoría de virus a muchas personas que no son capaces de subsistir sin su tarjeta de crédito. ¿Cómo perdieron los protovirus sus ribosomas? porque hoy en día los virus actuales no tienen ribosomas. Como siempre la solución está en la selección natural. Imaginemos dos virus A y B. El virus A es un protovirus, tiene ribosomas, y su ARN tiene 60.000 bases. El virus B perdió los genes de los ribosomas y por esa razón tienen 40.000 bases. No necesita codificar ribosomas porque puede utilizar los de la bacteria que infecta. Ambos virus infectan y se replican en el interior de bacterias. Si la ARN polimerasa copia a una velocidad de 1000 bases por minuto, y en los cromosomas de A y B existe un solo ORI. ¿Cuánto tiempo tarda cada virus en replicarse? ¿Cuánta descendencia tendrá cada virus al cabo de seis horas?

10. Cuando entra un virus en una célula ¿Qué ribosoma utilizará para traducir su ARNm, un ribosoma viral o un ribosoma de la célula humana? ¿Por qué?

11. Imaginemos que una expedición a Marte se encuentra agua bajo una gruesa capa de polvo y allí encuentran bacterias marcianas. Se aseguran de que esas bacterias no proceden de una contaminación traída por la propia expedición. ¿Tendrían el mismo código genético que las bacterias de la Tierra? ¿Por qué?

12. Tenemos dos virus A y B. El virus A tiene una tasa de letalidad del 0.1%, similar al de la gripe estacional. El virus B tiene una tasa de letalidad del 10%. En epidemiología el número reproductivo básico R0 es el número promedio de casos nuevos que genera un caso dado a lo largo de un período infeccioso.

La R₀ de A y B es de 5 en ambos Si ambos virus infectan 1000 personas cada uno y esas personas vuelven a infectar otras personas y éstas a otras, es decir, tres ciclos de transmisión. Al final de esos dos ciclos de transmisión ¿Cuántas han muerto? ¿Cuántas desarrollaron anticuerpos?

13. El 14 de mayo de 2020 en España se han registrado 27321 muertos por SARS-CoV-2. Al mismo tiempo un estudio estima que el 5% de los españoles (47 millones). Si se ha calculado que la tasa de letalidad del virus es 0.5-1%. ¿Tienen sentido estas cifras?

14. Si en España con 47 millones de habitantes se contagian con el SARS-CoV-2 el 60% de personas o el 80% ¿Cuántos muertos habría teniendo en cuenta que la tasa de letalidad es del 1%? ¿Y en Ecuador, con 17 millones de habitantes, cuántos muertos habría?

15. El genoma del SARS-CoV-2 (ARNm positivo) tiene alrededor de 30.000 nt. Observa el principio y el final de la secuencia del SARS-CoV-2. ¿Qué observas que te llame la atención? ¿Qué función tiene?

16. Respecto al crecimiento de las especies... a) ¿Qué gran diferencia existe entre los virus y los organismos basados en células? b) ¿Qué diferencia existe entre los seres unicelulares y los pluricelulares?

17. ¿Qué le ocurriría a un virus cuando por una mutación su R0 es menor que 1?

18. Un cultivo de bacterias parte de 10⁶ individuos. Cada hora se duplican. Cuando el cultivo alcanza los 9.450.000.000 individuos a) ¿Cuántas horas han transcurrido? b) ¿Cuántas bacterias habrá después de 12 hr? c) Si tenemos otra especie bacteriana que se triplica cada hora y cuya población inicial era de 1.2 millones de bacterias ¿Cuál de los dos cultivos será más numeroso al cabo de 4 horas?

19.Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 10.000 genes y se divide en dos bacterias cada 50 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes y se divide cada 25 min. Tras 6 horas de crecimiento ¿Cuántas más bacterias (ratio) dejará una bacteria respecto a la otra?

Un ratio, en definitiva, es la razón o cociente de dos magnitudes relacionadas entre sí. Siempre se divide la magnitud mayor por la menor. El valor tiene que ser positivo.

20. Tengo dos bacterias: A y B. La bacteria A tiene un cromosoma con 10.000 genes y se divide en dos bacterias cada 40 minutos. La bacteria B tiene 5000 genes y se divide cada 20 min. Tras 5 horas de crecimiento ¿Cuántas más bacterias (ratio) dejará de descendencia la bacteria A respecto a B?


21. Tenemos dos virus A y B. El virus A tiene una tasa de letalidad del 10% y un R0 de 5. En esta cepa de virus ha aparecido un mutante, que llamaremos B, con una tasa de letalidad menor, de 0.1. Si A y B infectan cada uno 1000 personas, y estas personas infectan a otras personas, lo que llamaremos transmisión primera y las personas infectadas en la transmisión primera infectan a otras personas, que llamaremos transmisión segunda. ¿Cuántas personas acabarán siendo infectadas por A y por B? ¿Cuántas personas en estas dos transmisiones matarán el virus A y su mutante el virus B?

Soluciones:

1.- i) 20 minutos ii) A 64 bacterias B 4096 bacterias

2.- Para resolver este problema utilizamos el logaritmo binario.

2^y = x ; 2^y = 9,223372037×10¹⁸

log₂9,223372037×10¹⁸ = y ; y = 63

El log en base 2 de 9,223372037×10¹⁸ es igual a 63 (si no tienes cómo calcular el log en base 2 puedes clicar aquí). Esto es 63 divisiones. Si cada división le lleva 12 minutos 12 x 63 = 756 minutos o 13 horas

En la calculadora del celular, o de la computadora se resuelve así
        ln (n)
y = ------------
        ln(2)
En donde y sería el resultato, es decir, 63 y n sería 9,223372037×10¹⁸

3.- 922337203700 bacterias, o sea 9,223372037x10¹¹

El 0.00001% de la cantidad de bacterias antes del tratamiento antibiótico.

100-99.99999 = 0.00001

0.00001 -------------- 100
     x       -------------- 9,22337203700x10¹⁸

x = 9,223372037x10¹¹

4.- 32768 bacterias

5.- Ha habido 14 divisiones. Seis horas son 360 minutos. Divido 360 minutos entre las 14 divisiones y obtengo un tiempo medio de 25.7 minutos, o sea 26 minutos con 18 segundos.
6.- Si 9,22x10¹¹-------- 0.00001%
              x          -------- 100%
x =  9,22x10¹¹ x  100 / 0.00001 = 9,22x10¹⁸
7.- Bacteria A 181 bacterias; bacteria B 5.9x10⁶

8.- Bacteria A: 22 bacterias después de 180 minutos. Bacteria B 147 bacterias.

9.- Virus A 30 minutos virus B 20 minutos. En 6 horas tendremos de A  4096 virus, y de B tendremos 262144. Si en vez de horas hablásemos de miles de años podemos entender porqué los virus actuales carecen de ribosomas.

10. Los virus no tienen ribosomas propios, utilizan siempre el ribosoma de la célula hospedadora. Los virus perdieron los ribosomas propios cuando aparecieron las primeras células porque aquellos virus que carecían de ellos se replicaban mucho más rápido, al tener menos genes, que los protovirus que si los poseían.

11.  Tendrían códigos genéticos distintos porque carecerían de un antepasado común.

12. A infecta 1000 personas, una muere y quedan 999 personas. Cuando infectan otras 5 personas 5x999=4995. Mueren cuatro quedan 4991. Si estas 4991 infectan cada una 5 personas tenemos 24955, si mueren 24 quedan 24931. En tres transmisiones han muerto 29 personas.

B infecta 1000 personas, mueren 100 quedan 900. Cuando infectan otras 5 personas 5x900=4500. Mueren 450 quedan 4050. Estas 4050x5= 20250, de estas personas se mueren 2025 quedan 18225. En tres transmisiones han muerto 2575 personas 

13. Si el 5% de los españoles son seropositivos para el SARS-CoV-2, es decir, ya han pasado la infección. De ese 5% se han muerto 27321. 5% de españoles son 2.350.000 personas. Si consideramos que la tasa de letalidad es 0.5%. De 2.350.000 personas se habrían muerto 11.750 personas, cuando en realidad se han muerto 27321. Si la tasa de letalidad fuese de 1%, de 2.350.000 personas (el 5% de los españoles) los muertos serían 23,500.

Conclusión. Si los muertos son 27321 puede pasar varias cosas. Que la letalidad sea mayor del 1%, que el serotipado subestime los españoles infectados...

14. En España con el 60% de la población infectada tendría 28.200.000 millones seropositivos, es decir, personas que ya habrían pasado la enfermedad. De estos, el 1% de muertos sería 282.000 personas. Si se infectan el 80% de los españoles, se habrían infectado 37.600.000 y la tasa de letalidad es del 1% morirían 376.000 personas.

15. En el extremo 3' de la secuencia del virus tiene una cola de poliA. Como el virus es ARN, cuando entra en el citoplasma de la célula humana tiene que tener la cola de poliA para protegerse de las ARNasas y darle tiempo a replicarse.

16.  a) Los virus desnudan sus ácidos nucleicos. El problema que esto presenta es que se pueden dar encapsidaciones inespecíficas entre distintas especies de virus. b) Los seres unicelulares cuando se dividen no dejan cadaver, mientras que los seres pluricelulares, sus células se dividen en dos grupos: sexuales y las somáticas. Las sexuales tienen la oportunidad de pasar a la siguiente generación, mientras que las somáticas son solo un soporte para mantener las células sexuales de una generación a la siguiente.

17. Cuando R0 es menor que 1 la infección muere tras un largo período. Pero si R0 es mayor que 1 la infección puede llegar a propagarse ampliamente entre una población.

18.  Vamos a generar una tabla de valores para luego generar la ecuación que refleje este crecimiento exponencial

#bacterias(t) = bacterias iniciales x (divisiones por hora)^{tiempo en horas}

a) 9.450.000.000 = 10⁶ individuos x 2^{tiempo en horas}

9450 = 2^{tiempo en horas}. Para resolver log₂ (9450) = ln (9450) / ln (2) = 13.2061 horas. Es decir 2^13,2061 = 9450, como partíamos de 10⁶, entoncen tendríamos 9450 x 10⁶

b) bacterias(t) = bacterias iniciales x (divisiones por hora)^{tiempo en horas}. Bacterias(t) = 10⁶ x 3¹². Bacterias(t) = 5,31441 x 10¹¹

c) bacteriasB(t) = 1200000 x 3^t. Al cabo de 4 hr: bacteriasB(t) = 97.200.000

las bacterias iniciales bacteriasA(t) = 1000.000 x 2^t. Al cabo de 4 hr: bacteriasA(t) = 16.000.000

19. La bacteria A en 360 minutos se divide 360/50= 7.2 veces se divide. 2 elevado a 7.2 = 147 bacterias
La bacteria B en 360 minutos se divide 360/25= 14.4 veces se divide. 2 elevado a 14.4 = 21618
Ratio (es un cociente) 21618/147 = 147 veces más bacterias B que A en 6 horas.

20. Solución pincha aquí (video inside)

21. Solución aquí


 
Crecimiento exponencial de las bacterias

Para saber más